Índice

Introdução

No presente trabalho relacionado a pesquisa da Probalidade da disciplina de Matemática irei abordar ao longo da Matéria como sendo o estudo das de um resultado, que são obtidas pela razão e nos casos favoráveis e casos possíveis, visto entender que este trabalho o maior objectivo e Estatística aplicada é ensinar os estudantes a utilizar o conhecimento estatístico para retratar e descrever o mundo e, a partir disso, tomar decisões fundamentadas. A Estatística é uma ferramenta imprescindível a qualquer pesquisador ou pessoa que necessite tomar decisões. O seu estudo não representa uma tarefa muito fácil, principalmente no início, quando são apresentados muitos conceitos novos que exigem um tipo especial de raciocínio. O seu estudo não representa uma tarefa muito fácil, principalmente no início, quando são apresentados muitos conceitos novos que exigem um tipo especial de raciocínio.

A Teoria das Probabilidades

Surgiu nos meados do século XVII, sendo atribuída sua autoria a Blaise Pascal (1623-1662), juntamente a Pierre de Fermat (1601-1665), ambos matemáticos e amigos de longa data. As sete cartas trocadas por estes estudiosos no ano de 1654 apresentam discussões e uma solução para um problema semelhante ao problema dos pontos (divisão de apostas). Este problema foi apresentado a Pascal por Antoine Gombauld (1610-1665), um homem que ganhava a vida jogando e conhecido como cavaleiro de Méré.

Desta forma, julgamos necessário apresentar as correspondências trocadas por Pascal e Fermat em 1654 e expor algumas considerações sobre as contribuições destes estudiosos para o desenvolvimento da teoria da probabilidade. Tais cartas apresentavam reflexões sobre as resoluções dos problemas relacionados com os jogos de azar, principalmente o problema de divisão de apostas. Encontramos, conforme já exposto sete cartas trocadas entre estes matemáticos que tratavam de tais problemas. De acordo com Pombo a primeira correspondência foi enviada a Fermat por Pascal e apresentava um problema de divisão de apostas e uma possível solução para ele. Este problema, ainda de acordo com a referida autora, era que dois jogadores com igual pericia são interrompidos enquanto jogam um jogo de azar no qual havido sido apostada uma quantia de dinheiro. Dada a pontuação do jogo naquela altura, como deve ser dividida a aposta.

Teoria das Probabilidades.

A teoria das probabilidades ganhou um grande impulso historicamente com os jogos de azar e hoje constituem um interessante e importante ramo da Matemática. Tem aplicações em áreas do conhecimento como biologia (Genética), Finanças, Marketing e Econometria, que é o conjunto de técnicas matemáticas usadas para quantificar fenômenos econômicos.

A probabilidade é o ramo da matemática que estuda os fenômenos em que o acaso representa um papel preponderante.

Estudamos probabilidade com a intenção de prevermos as possibilidades de ocorrência de uma determinada situação ou fato. Para determinarmos a razão de probabilidade, utilizamos os conceitos:

ü Experimento aleatório;

ü Espaço amostral;

ü Evento;

ü Evento completar;

2.1.Experimento aleatório

Um experimento é considerado aleatório quando suas ocorrências podem apresentar resultados diferentes.

Espaço amostral

O espaço amostral (S) determina as possibilidades possíveis de resultados.

No caso do lançamento de uma moeda o conjunto do espaço amostral é dado por: S = {cara, coroa}, isso porque são as duas únicas respostas possíveis para esse experimento aleatório.

Evento

Na probabilidade a ocorrência de um fato ou situação é chamado de evento. Sendo assim, ao lançarmos uma moeda estamos estabelecendo a ocorrência do evento. Temos então que, qualquer subconjunto do espaço amostral deve ser considerado um evento. Um exemplo pode acontecer ao lançarmos uma moeda três vezes, é obtermos como resultado do evento o seguinte conjunto: E = {Cara, Coroa, Cara}

Evento equiparáveis

Em um espaço amostral, os eventos podem ser equiparáveis ou não, eles são considerados equiparáveis quando possuem a mesma chance de ocorrer (Oliveira, 2021).

Esse evento é subconjunto do espaço amostral, para representar essa afirmação utilizamos a seguinte notação: ES .

Variável Aleatória Contínua

A demanda diária de arroz num supermercado, em centenas de quilos, é uma variável aleatória com função densidade de probabilidade:

Distribuição De Probabilidades De Variável Aleatória Discreta

Suponha que a probabilidade de que o Metical se desvalorize em relação ao Dólar numa determinada semana seja 0.30, e que o que acontece numa determinada semana seja independente do que acontece numa outra semana. Nota: 1 mês equivale a 4 semanas. Qual é a probabilidade de que o Metical se desvalorize pelo menos uma semana num período de 2 meses?

Resolução

Esperança matemática: 𝐸(𝑥)=5∗0.73=8∗0.3=3.65

Variança: 𝑉(𝑥)=𝑛.𝑝.𝑞=5∗0.73∗0.27=0.9855

Resolução

Pelos dados temos: 𝑝=0.60;1−𝑝=0.40; 𝑛=8;𝑃𝑒𝑑𝑒−𝑠𝑒 𝑃(𝑥>5) 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑣.𝑎: 𝑥=𝑛º 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝑣𝑎𝑔𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒𝑔𝑜.

Operações com eventos:

União: A ∪ B é o evento que ocorre se e somente se A ocorre ou B ocorre

ou ambos ocorrem simultaneamente.

• Intersecção: A ∩ Bé o evento que ocorre se e somente se A e B ocorrem simultaneamente. Obs: se A ∩ B = ∅, então A e B são ditos mutuamente exclusivos ou disjuntos.

Apresentação de Dados

Essas informações podem ser sobre peso de pessoas, eficiência dum serviço, incidência de doenças, causas de acidentes, quantidade de carros acidentados, etc. Neste Capítulo vamos aprender como essas informações são organizadas para facilitar a leitura.

Dados e Variável

Variável é uma condição ou característica das unidades da população; a variável pode assumir valores diferentes em diferentes unidades. Por exemplo, a idade das pessoas residentes em Moçambique é uma variável. Dados são os valores da variável em estudo, obtidos por meio de uma amostra.

Exemplo 3.1: Dados e Variáveis

O dono de um supermercado quer saber a opinião de seus clientes sobre a qualidade dos serviços que presta. O que é variável e o que são dados nesse problema?

Solução

A variável de interesse é a opinião dos clientes. Os dados serão obtidos somente quando o dono do supermercado começar a pedir aos clientes que dêem uma nota a cada serviço. Então, se for pedido que o cliente dê uma nota de zero e 5 a cada serviço que utiliza os dados coletados poderão ser, por exemplo, 4, 3, 2, 4, 1etc., por serviço.

As variáveis quantitativas ou numéricas são classificadas em dois tipos:

v Discreta

v Contínua.

Fases do método estatístico

Num estudo estatístico, normalmente, segue-se um conjunto de passos que se designam por fases do método estatístico, a saber:

v Definição de problema: A primeira faze consiste na definição e formulação correcta do problema a ser estudado;

v Planificação: Definido o problema, é preciso determinar um processo para o resolver e, em especial, como obter informações sobre a variável em estudo. é nesta fase que se decide pela observação de toda a população ou de uma amostra

Ø Recolha de dados: Os dados podem ser recolhidos através de :

Ø Questionários

Ø Observação

Ø Experimentação

Ø Pesquisa Bibliográfica

Ø Organização de dados: Há duas formas de apresentação que não excluem mutuamente:

Ø Apresentação por tabelas

Ø Apresentação por gráficos

Ø Análise e interpretação de dados: Nesta fase calculam-se novos números com base nos dados estatísticos. Estes novos números permitem fazer uma descrição do fenómeno evidenciando algumas das suas características

Frequências absolutas: é o número de vezes que esse valor foi observado;

o Frequências relativas: é o quociente entre a frequência absoluta da variável e o número total de observações

As distribuições de frequências podem-se classificar:

v Ordinárias: a cada valor ou classe de valores da variável corresponde a sua frequência;

v Acumulada: a cada valor ou classe de valores da variável corresponde a sua frequência mais a de todos os valores, ou classes de valores anteriores (ou posteriores).

Distribuição de frequências devemos considerar outros elementos e conceitos além dos mencionados anteriormente

a) Intervalo de variação da variável x: é o intervalo que contém todos os valores da variável x,

Polígono de frequências acumuladas (OGIVA)

Unindo os limites superiores das classes, obtém-se, analogamente o polígono de frequências acumuladas ou Ogiva.

Medidas Descritivas

As medidas descritivas classificam-se em medidas de localização (de tendência central ou de posição não central), dispersão (ou de variabilidade), assimetria e achatamento (ou curtose).

Medidas de Localização

4.1.1. Medidas de Tendência Central

As medidas de tendência central indicam os pontos em torno dos quais se encontram os valores da variável estatística, ou seja, localizam a distribuição. As principais medidas de localização são:

v Média

v Mediana

v Moda

Média aritmética

É o tipo de média mais utilizada pelas pessoas no dia-a-dia e subdivide-se em dois tipos: simples e ponderada. A diferença entre elas é que na média aritmética a importância (peso) de cada ocorrência é igual e na ponderada cada termo possui uma importância relativa, ou seja, possuem pesos diferentes.

Distribuição De Probabilidades De Variável Aleatória Contínua

O consumo mensal em minutos por conta de celular em uma região é uma variável aleatória normal com média 36 e desvio padrão 12.

a) Qual é a probabilidade de uma pessoa desta região usar o telefone celular por menos de 48 minutos?

Resolução 𝑋~𝑁(𝜇=36;𝜎2=144 )

Padronizando a variável X e Z teremos: 𝑍~𝑁(𝜇=0;𝜎2=1 )

Onde 𝑍=𝑥−𝜇𝜎

Amostra não probabilística

As amostragens não probabilísticas utilizam-se em três tipos de situações

v Estudos em grupos cujos elementos são difíceis de identificar e contactar (por exemplo, membros de gangs juvenis);

v Estudos com grupos específicos em que razões éticas impedem que se identifiquem todos os elementos desses grupos, pelo que se entrevistam apenas voluntários (por exemplo, sujeitos portadores de determinada doença);

Probabilidade condicional

Nesta secção, você aprendera como encontrar a probabilidade de dois eventos ocorrerem em sequência. Antes que você possa encontrar essa probabilidade, entretanto, voce deve saber como encontrar probabilidades

Condicionais

A regra da adição A regra da adição para a probabilidade de A ou B A probabilidade de que os eventos A ou B ocorram, P (A ou B), é dada por: P (A ou B) = P (A) + P (B) – P (A e B). Se os eventos A e B forem mutuamente exclusivos, então a regra pode ser simplificada para P (A ou B) = P (A) + P (B

Permutações

Uma permutação é um arranjo ordenado de objetos. O número de diferentes

Permutações de n objetos distintos é n. Arranjo de n objetos tomados r a r

O número de arranjos de n objetos distintos tomados r a r é:

An,r = n !

(n r ) ! em que r n.

Cominações

Um parque estadual administra cinco praias identificadas como A, B, C, D e E. Devido as restrições orçamentarias, novas instalações sanitárias serão construídas somente em três praias. Há 10 maneiras de as três praias serem selecionadas: ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE Em cada seleção, a ordem não importa (ABC e o mesmo que BAC). O número de maneiras de selecionar r dos n objetos sem levar em consideração a ordem e chamada de combinação de n objetos tomados r a r.

Razão da Probalidade

A razão de probabilidade é dada pelas possibilidades de um evento ocorrer levando em consideração o seu espaço amostral. Essa razão que é uma fração é igual ao número de elementos do evento (numerador) sobre o número de elementos do espaço amostral (denominador).

Considerando os seguintes elementos:

ü E é um evento.

ü n(E) é o número de elementos do evento.

ü S é espaço amostral.

ü n(S) é a quantidade de elementos do espaço amostral.

A Razão de probabilidade é dada por: P(E)=n(E)n(S) Com n(S) ≠ 0

A probabilidade normalmente é representa por um fração, cujo seu valor sempre estará entre 0 e 1, ou seja:

Podemos também representar a probabilidade com um número decimal ou em forma de percentagem (%).

Exemplo:

Ao lançarmos um dado com seis faces, qual a probabilidade de obtermos um número que seja múltiplo de 3?

Resposta:

O espaço amostral do lançamento de um dado é representado pelos números: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n (S) = 6

Regra da adição:

A probabilidade de que os eventos A ou B ocorram, P (A ou B), é dada por: P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B).

Se os eventos A e B forem mutuamente exclusivos, então a regra pode ser simplificada para P(A ou B) = P(A) + P(B). Esta regra simplificada pode ser estendida para qualquer número de eventos mutuamente exclusivos.

Exemplo: Você seleciona uma carta de um baralho. Encontre a probabilidade de a carta ser um 4 ou um ás.

Regra da multiplicação:

A probabilidade de que dois eventos A e B ocorram em sequência é:

P(A e B) = P(A) • P(B|A).~

Se os eventos A e B forem independentes, então a regra pode ser simplificada para P(A e B) = P(A) • P(B). Essa regra simplificada pode ser estendida para qualquer número de eventos independentes.

Exemplo: Duas cartas são selecionadas, sem reposição da primeira carta, de um baralho

Observações:

A probabilidade pode ser representada como fração, como percentagem ou como número decimal. A probabilidade é sempre um número decimal entre 0 e 1, ou uma percentagem entre 0% e 100%.

Ø Se P(A) = 0 então A é um evento impossível.

Ø Se P(A) = 1 então A é um evento certo.

Conclusão

E dada a simples conclusão de que A Estatística é uma ferramenta imprescindível a qualquer pesquisador ou pessoa que necessite tomar decisões As ideias intuitivas da probabilidade surgiram em civilizações antigas através das brincadeiras, jogos e adivinhas e passaram a ter um aspectos mais matemático no século XVI com os italianos. Todos os elementos citados ajudam a saber é a possibilidade de um evento acontecer ou não. Probabilidade tem alguns elementos importantes tais como evento, experimento e espaço amostral.

Experimento é qualquer processo de observação, espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento e evento é o subconjunto do espaço amostral. Para compreender este ramo, e extremamente importante conhecer suas definições mais básicos, como a formula para o calculo de probalidade e espaço a mostrar e que prováveis, probalidade da união de dois eventos, probalidade de eventos.

Referências bibliográficas

Livro Manuel estatística Pdf

Colectnea de Exercícios Resolvidos de Estatística

PASCAL, B, Obras Matemáticas ( Seleccion de textos). Trad.: Santiago Ramirez Castañeda. México: Coleccion MATHEMA.1995.

NEVES, Ma A& BRITO, Ma. L. Matemática 12a ano 2a Vol. Porto Editora

SILVEIRA,J,F,P. da. Inicio da Matematização das Probabilidades,2001. Disponível em:<http.\\www.mat.ufrgs.br\~portosil\histo2c.html>. Acesso em 12\02\13.

LARSSON, Ron; FARBER, Beaty. Estatística aplicada