Índice
Polígono de
frequências acumuladas (OGIVA)
Distribuição De
Probabilidades De Variável Aleatória Contínua
Introdução
No
presente trabalho relacionado a pesquisa da Probalidade da disciplina de
Matemática irei abordar ao longo da Matéria como sendo o estudo das de um resultado, que são obtidas pela razão e nos
casos favoráveis e casos possíveis, visto entender que este trabalho o maior
objectivo e Estatística aplicada é
ensinar os estudantes a utilizar o conhecimento estatístico para retratar e descrever
o mundo e, a partir disso, tomar decisões fundamentadas. A Estatística é uma
ferramenta imprescindível a qualquer pesquisador ou pessoa que necessite tomar
decisões. O seu estudo não representa uma tarefa muito fácil, principalmente no
início, quando são apresentados muitos conceitos novos que exigem um tipo
especial de raciocínio. O seu estudo não representa uma tarefa muito fácil,
principalmente no início, quando são apresentados muitos conceitos novos que
exigem um tipo especial de raciocínio.
A Teoria das Probabilidades
Surgiu nos
meados do século XVII, sendo atribuída sua autoria a Blaise
Pascal (1623-1662),
juntamente a Pierre de Fermat
(1601-1665), ambos matemáticos e amigos de longa data. As sete cartas
trocadas por estes estudiosos no ano de 1654 apresentam discussões e uma
solução para um problema semelhante ao problema dos pontos (divisão de
apostas). Este problema foi apresentado a Pascal por Antoine Gombauld
(1610-1665), um homem que ganhava a vida jogando e conhecido como cavaleiro de
Méré.
Desta forma, julgamos necessário apresentar as
correspondências trocadas por Pascal e Fermat em 1654 e expor algumas
considerações sobre as contribuições destes estudiosos para o desenvolvimento
da teoria
da probabilidade.
Tais cartas apresentavam reflexões sobre as resoluções dos problemas
relacionados com os jogos de azar, principalmente o problema de divisão de
apostas. Encontramos, conforme já exposto sete cartas trocadas entre estes
matemáticos que tratavam de tais problemas. De acordo com Pombo a primeira
correspondência foi enviada a Fermat por Pascal e apresentava um problema de
divisão de apostas e uma possível solução para ele. Este problema, ainda de
acordo com a referida autora, era que dois jogadores com igual pericia são
interrompidos enquanto jogam um jogo de azar no qual havido sido apostada uma
quantia de dinheiro. Dada a pontuação do jogo naquela altura, como deve ser
dividida a aposta.
Teoria das
Probabilidades.
A teoria das
probabilidades ganhou
um grande impulso historicamente com os jogos de azar e hoje constituem um
interessante e importante ramo da Matemática. Tem aplicações em áreas do
conhecimento como biologia (Genética), Finanças, Marketing e Econometria, que é
o conjunto de técnicas matemáticas usadas para quantificar fenômenos econômicos.
A probabilidade
é
o ramo da matemática que estuda os fenômenos em que o acaso representa um papel
preponderante.
Estudamos probabilidade com a intenção
de prevermos as possibilidades de ocorrência de uma determinada situação ou
fato. Para determinarmos a razão de probabilidade, utilizamos os conceitos:
ü Experimento
aleatório;
ü Espaço
amostral;
ü Evento;
ü Evento
completar;
2.1.Experimento aleatório
Um experimento é
considerado aleatório quando suas ocorrências podem apresentar resultados
diferentes.
Espaço
amostral
O espaço
amostral (S) determina as possibilidades possíveis de resultados.
No caso do lançamento de uma moeda o conjunto
do espaço amostral é dado por: S = {cara, coroa}, isso porque são as duas
únicas respostas possíveis para esse experimento aleatório.
Evento
Na probabilidade
a ocorrência de um fato ou situação é chamado de evento. Sendo assim, ao
lançarmos uma moeda estamos estabelecendo a ocorrência do evento. Temos então
que, qualquer subconjunto do espaço amostral deve ser considerado um evento. Um
exemplo pode acontecer ao lançarmos uma moeda três vezes, é obtermos como
resultado do evento o seguinte conjunto: E = {Cara, Coroa, Cara}
Evento equiparáveis
Em um espaço amostral, os eventos podem ser
equiparáveis ou não, eles são considerados equiparáveis quando possuem a mesma
chance de ocorrer
Esse evento é
subconjunto do espaço amostral, para representar essa afirmação utilizamos a
seguinte notação: E
S .
Variável Aleatória Contínua
A demanda diária
de arroz num supermercado, em centenas de quilos, é uma variável aleatória com
função densidade de probabilidade:
Distribuição De
Probabilidades De Variável Aleatória Discreta
Suponha
que a probabilidade de que o Metical se desvalorize em relação ao Dólar numa
determinada semana seja 0.30, e que o que acontece numa determinada semana seja
independente do que acontece numa outra semana. Nota: 1 mês equivale a 4
semanas. Qual é a probabilidade de que o Metical se desvalorize pelo menos uma
semana num período de 2 meses?
Resolução
Esperança
matemática: 𝐸(𝑥)=5∗0.73=8∗0.3=3.65
Variança: 𝑉(𝑥)=𝑛.𝑝.𝑞=5∗0.73∗0.27=0.9855
Resolução
Pelos dados
temos: 𝑝=0.60;1−𝑝=0.40;
𝑛=8;𝑃𝑒𝑑𝑒−𝑠𝑒 𝑃(𝑥>5)
𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑣.𝑎:
𝑥=𝑛º 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝑣𝑎𝑔𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒𝑔𝑜.
Operações com eventos:
União: A
∪ B é o evento que ocorre se e somente se A ocorre ou B
ocorre
ou ambos ocorrem simultaneamente.
• Intersecção: A ∩ Bé o evento que ocorre se e
somente se A e B ocorrem simultaneamente. Obs: se A ∩ B = ∅, então A e B são ditos mutuamente exclusivos ou
disjuntos.
Apresentação de Dados
Essas
informações podem ser sobre peso de pessoas, eficiência dum serviço, incidência
de doenças, causas de acidentes, quantidade de carros acidentados, etc. Neste
Capítulo vamos aprender como essas informações são organizadas para facilitar a
leitura.
Dados e Variável
Variável é uma condição
ou característica das unidades da população; a variável pode assumir valores
diferentes em diferentes unidades. Por exemplo, a idade das pessoas residentes
em Moçambique é uma variável. Dados são os valores da variável em
estudo, obtidos por meio de uma amostra.
Exemplo 3.1: Dados e Variáveis
O dono de um supermercado quer saber a opinião de seus clientes sobre a
qualidade dos serviços que presta. O que é variável e o que são dados nesse
problema?
Solução
A variável de interesse é a opinião dos clientes. Os dados serão
obtidos somente quando o dono do supermercado começar a pedir aos clientes que
dêem uma nota a cada serviço. Então, se for pedido que o cliente dê uma nota de
zero e 5 a cada serviço que utiliza os dados coletados poderão ser, por
exemplo, 4, 3, 2, 4, 1etc., por serviço.
As variáveis
quantitativas ou numéricas são classificadas em dois tipos:
v
Discreta
v Contínua.
Fases do método estatístico
Num estudo estatístico, normalmente,
segue-se um conjunto de passos que se designam por fases do método estatístico,
a saber:
v Definição de
problema: A primeira faze consiste na definição e formulação correcta do
problema a ser estudado;
v Planificação: Definido
o problema, é preciso determinar um processo para o resolver e, em especial,
como obter informações sobre a variável em estudo. é nesta fase que se decide
pela observação de toda a população ou de uma amostra
Ø
Recolha
de dados: Os dados podem ser recolhidos através de :
Ø
Questionários
Ø
Observação
Ø
Experimentação
Ø
Pesquisa Bibliográfica
Ø
Organização
de dados: Há duas formas de apresentação que não excluem mutuamente:
Ø
Apresentação por tabelas
Ø
Apresentação por gráficos
Ø
Análise
e interpretação de dados: Nesta fase calculam-se novos números com base nos
dados estatísticos. Estes novos números permitem fazer uma descrição do
fenómeno evidenciando algumas das suas características
Frequências
absolutas: é
o número de vezes que esse valor foi observado;
o
Frequências relativas: é o quociente
entre a frequência absoluta da variável e o número total de observações
As
distribuições de frequências podem-se classificar:
v
Ordinárias: a cada valor ou classe de
valores da variável corresponde a sua frequência;
v Acumulada:
a cada valor ou classe de valores da variável corresponde a sua frequência mais
a de todos os valores, ou classes de valores anteriores (ou posteriores).
Distribuição de
frequências devemos considerar outros elementos e conceitos além dos
mencionados anteriormente
a) Intervalo
de variação da variável x: é o intervalo que contém todos os valores da
variável x,
Polígono de frequências acumuladas (OGIVA)
Unindo os limites superiores das classes, obtém-se,
analogamente o polígono de frequências acumuladas ou Ogiva.
Medidas Descritivas
As medidas descritivas classificam-se em medidas de
localização (de tendência central ou de posição não central), dispersão (ou de
variabilidade), assimetria e achatamento (ou curtose).
Medidas de Localização
4.1.1. Medidas de Tendência Central
As medidas de tendência central indicam os pontos em
torno dos quais se encontram os valores da variável estatística, ou seja, localizam
a distribuição. As principais medidas de localização são:
v
Média
v
Mediana
v Moda
Média aritmética
É o tipo de
média mais utilizada pelas pessoas no dia-a-dia e subdivide-se em dois tipos:
simples e ponderada. A diferença entre elas é que na média aritmética a
importância (peso) de cada ocorrência é igual e na ponderada cada termo possui
uma importância relativa, ou seja, possuem pesos diferentes.
Distribuição De Probabilidades De Variável Aleatória Contínua
O
consumo mensal em minutos por conta de celular em uma região é uma variável
aleatória normal com média 36 e desvio padrão 12.
a) Qual é a
probabilidade de uma pessoa desta região usar o telefone celular por menos de
48 minutos?
Resolução 𝑋~𝑁(𝜇=36;𝜎2=144
)
Padronizando a
variável X e Z teremos: 𝑍~𝑁(𝜇=0;𝜎2=1 )
Onde 𝑍=𝑥−𝜇𝜎
Amostra não probabilística
As amostragens
não probabilísticas utilizam-se em três tipos de situações
v
Estudos em grupos cujos elementos são difíceis de identificar
e contactar (por exemplo, membros de gangs juvenis);
v
Estudos com grupos específicos em que razões éticas impedem
que se identifiquem todos os elementos desses grupos, pelo que se entrevistam
apenas voluntários (por exemplo, sujeitos portadores de determinada doença);
Probabilidade condicional
Nesta
secção, você aprendera como encontrar a probabilidade de dois eventos ocorrerem
em sequência. Antes que você possa encontrar essa probabilidade, entretanto,
voce deve saber como encontrar probabilidades
Condicionais
A regra da adição A regra da adição para a
probabilidade de A ou B A probabilidade de que os eventos A ou B ocorram, P (A
ou B), é dada por: P (A ou B) = P (A) + P (B) – P (A e B). Se os eventos A e B
forem mutuamente exclusivos, então a regra pode ser simplificada para P (A ou
B) = P (A) + P (B
Permutações
Uma permutação
é um arranjo ordenado de objetos. O número de diferentes
Permutações de n objetos distintos é n.
Arranjo de n objetos tomados
r a r
O número de arranjos de
n objetos distintos tomados r a r é:
An,r = n !
(n r
) ! em que r n.
Cominações
Um
parque estadual administra cinco praias identificadas como A, B, C, D e E.
Devido as restrições orçamentarias, novas instalações sanitárias serão
construídas somente em três praias. Há 10 maneiras de as três praias serem
selecionadas: ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE Em cada seleção,
a ordem não importa (ABC e o mesmo que BAC). O número de maneiras de selecionar
r dos n objetos sem levar em consideração a ordem e chamada de combinação
de n objetos tomados r a r.
Razão da Probalidade
A razão de
probabilidade é dada pelas possibilidades de um evento ocorrer levando em
consideração o seu espaço amostral. Essa razão que é uma fração é igual ao
número de elementos do evento (numerador) sobre o número de elementos do espaço
amostral (denominador).
Considerando os
seguintes elementos:
ü E
é um evento.
ü n(E)
é o número de elementos do evento.
ü S
é espaço amostral.
ü n(S)
é a quantidade de elementos do espaço amostral.
A Razão de probabilidade é dada
por: P(E)=n(E)n(S)
Com n(S) ≠ 0
A
probabilidade normalmente é representa por um fração, cujo seu valor sempre
estará entre 0 e 1, ou seja:
Podemos também representar a
probabilidade com um número decimal ou em forma de percentagem (%).
Exemplo:
Ao
lançarmos um dado com seis faces, qual a probabilidade de obtermos um número
que seja múltiplo de 3?
Resposta:
O espaço amostral do lançamento de um dado é
representado pelos números: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n (S) = 6
Regra da adição:
A probabilidade de que os eventos A ou B ocorram, P (A
ou B), é dada por: P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B).
Se os eventos A e B forem mutuamente exclusivos, então
a regra pode ser simplificada para P(A ou B) = P(A) + P(B). Esta regra
simplificada pode ser estendida para qualquer número de eventos mutuamente
exclusivos.
Exemplo: Você seleciona uma carta de um baralho. Encontre a
probabilidade de a carta ser um 4 ou um ás.
Regra da multiplicação:
A probabilidade de que dois eventos A e B ocorram em
sequência é:
P(A e B) = P(A) •
P(B|A).~
Se os eventos A e B forem independentes, então a regra
pode ser simplificada para P(A e B) = P(A) • P(B). Essa regra simplificada
pode ser estendida para qualquer número de eventos independentes.
Exemplo: Duas
cartas são selecionadas, sem reposição da primeira carta, de um baralho
Observações:
A probabilidade
pode ser representada como fração, como percentagem ou como número decimal. A
probabilidade é sempre um número decimal entre 0 e 1, ou uma percentagem entre
0% e 100%.
Ø Se
P(A) = 0 então A é um evento impossível.
Ø Se
P(A) = 1 então A é um evento certo.
Conclusão
E dada a simples conclusão de que A
Estatística é uma ferramenta imprescindível a qualquer pesquisador ou pessoa
que necessite tomar decisões As ideias intuitivas da probabilidade surgiram em
civilizações antigas através das brincadeiras, jogos e adivinhas e passaram a
ter um aspectos mais matemático no século XVI com os italianos. Todos os
elementos citados ajudam a saber é a possibilidade de um evento acontecer ou
não. Probabilidade tem alguns elementos importantes tais
como evento, experimento e espaço amostral.
Experimento é
qualquer processo de observação, espaço amostral é o conjunto de todos os
resultados possíveis de um experimento e evento é o subconjunto do espaço
amostral.
Para compreender este ramo, e extremamente importante conhecer suas definições
mais básicos, como a formula para o calculo de probalidade e espaço a mostrar e
que prováveis, probalidade da união de dois eventos, probalidade de eventos.
Referências
bibliográficas
Livro Manuel
estatística Pdf
Colectnea de
Exercícios Resolvidos de Estatística
PASCAL, B, Obras Matemáticas ( Seleccion de textos). Trad.:
Santiago Ramirez Castañeda. México: Coleccion MATHEMA.1995.
NEVES, Ma A&
BRITO, Ma. L. Matemática 12a ano 2a Vol. Porto Editora
SILVEIRA,J,F,P.
da. Inicio da Matematização das Probabilidades,2001. Disponível
em:<http.\\www.mat.ufrgs.br\~portosil\histo2c.html>. Acesso em 12\02\13.
LARSSON, Ron; FARBER, Beaty. Estatística aplicada
 Probabilidade ){kind=link}
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